Возможно ли подать в суд на фирму из-за использования одинакового названия и рода деятельности, и какие действия суд может предпринять?

Марат, использование чужого фирменного наименования (а именно этим и является название ООО) недопустимо. Положения о фирменно наименовании регламентируются параграфом 1 гл. 76 ГК РФ. В частности:

Статья 1474

3. Не допускается использование юридическим лицом фирменного наименования, тождественного фирменному наименованию другого юридического лица или сходного с ним до степени смешения, если указанные юридические лица осуществляют аналогичную деятельность и фирменное наименование второго юридического лица было включено в единый государственный реестр юридических лиц ранее, чем фирменное наименование первого юридического лица.

4. Юридическое лицо, нарушившее правила пункта 3 настоящей статьи, по требованию правообладателя обязано по своему выбору прекратить использование фирменного наименования, тождественного фирменному наименованию правообладателя или сходного с ним до степени смешения, в отношении видов деятельности, аналогичных видам деятельности, осуществляемым правообладателем, или изменить свое фирменное наименование, а также обязано возместить правообладателю причиненные убытки.

Вам необходимо сначала направить тому юридическому лицу претензию с изложением Ваших требований. Если исполнение не последует, можете обращаться в суд.