Проблемы с поступлением ребенка в школу - моей прописке и фактическому месту жительства не соответствует

Для приема в общеобразовательное учреждение:

- родители (законные представители) детей, проживающих на закрепленной территории, для зачисления ребенка в первый класс дополнительно предъявляют оригинал свидетельства о рождении ребенка или документ, подтверждающий родство заявителя, свидетельство о регистрации ребенка по месту жительства или по месту пребывания на закрепленной территории или документ, содержащий сведения о регистрации ребенка по месту жительства или по месту пребывания на закрепленной территории.

У меня на руках был договор аренды квартиры по этому району, но он заключен только между мной и хозяйкой квартиры и не кем не заверен.

Он и не должен быть "кем-то заверен", это договор между частными лицами. Только это должен быть не договор аренды, договор коммерческого найма жилого помещения. Можно акты составить: один о том, что Вы фактически не проживаете по месту регистрации; другой о том, что проживаете по месту найма. В школу подадите заявление о приёме, приложите копии указанных документов. Сошлётесь на права ребёнка и недопустимость создания препятствий на доступ к образованию. И пусть попробуют отказать Вам официально в письменной форме.

Хозяйка квартиры находиться в подмосковье... а мы в Севастополе. Приехать ближайшее время она не может.