Требование повторной регистрации квартиры с уплатой пошлины - законно или нет?

Нет, в общем случае.

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЗАКОН

О государственной регистрации недвижимости

(с изменениями на 3 июля 2016 года)

Статья 69. Признание ранее возникших прав, прав, возникающих в силу закона. Ранее учтенные объекты недвижимости

1. Права на объекты недвижимости, возникшие до дня вступления в силу Федерального закона от 21 июля 1997 года N 122-ФЗ "О государственной регистрации прав на недвижимое имущество и сделок с ним", признаются юридически действительными при отсутствии их государственной регистрации в Едином государственном реестре недвижимости. Государственная регистрация таких прав в Едином государственном реестре недвижимости проводится по желанию их обладателей.

2. Права на объекты недвижимости, возникающие в силу закона (вследствие обстоятельств, указанных в законе, не со дня государственной регистрации прав), признаются юридически действительными при отсутствии их государственной регистрации в Едином государственном реестре недвижимости. Государственная регистрация таких прав в Едином государственном реестре недвижимости осуществляется по заявлениям правообладателей, решению государственного регистратора прав при поступлении от органов государственной власти и нотариусов сведений, подтверждающих факт возникновения таких прав, кроме случаев, установленных федеральными законами.