Как оформить нотариально заверенную доверенность на педагога для вывоза ребенка в другую страну, если отцовство установлено в судебном порядке и отец с ребёнком не общается?

Да, это проблема типичная. Если отцовство установлено судом, и отец платит алименты, то иного способа, кроме как попросить его сходить к нотариусу и выписать такую доверенность, к сожалению, практически не существует. Можно в качестве варианта предложить вариант обязать его выписать такую доверенность в судебном порядке. Но для этого Вам понадобится доказать, что ребенку из-за этого не разрешают въезд в другую страну. И это надо будет подтвердить официальным отказом какого-либо консульства, например. Далее обращаетесь в суд, что отец препятствует свободному передвижению ребенка, прикладываете к заявлению отказ из консульства и копии писем к отцу с уведомлением о вручении. Теоретически это может в дальнейшем быть основанием для лишения его родительских прав. Но процесс совсем не быстрый и довольно затратный.

В качестве еще одного варианта можно поехать вместе с ребенком, воспользовавшись ст. 20 Федерального закона от 15.08.1996 N 114-ФЗ"О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию"

Несовершеннолетний гражданин Российской Федерации, как правило, выезжает из Российской Федерации совместно хотя бы с одним из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей. В случае, если несовершеннолетний гражданин Российской Федерации выезжает из Российской Федерации без сопровождения, он должен иметь при себе кроме паспорта нотариально оформленное согласие названных лиц на выезд несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации с указанием срока выезда и государства (государств), которое (которые) он намерен посетить.