Могу ли я отказаться от заключения трудового договора после работы в одной школе с 1984 года?

Договор заключить обязаны. А почему Вы так его боитесь? В самом тексте договора можно указать, что он вступает в силу с момента фактического начала работы

"Трудовой кодекс Российской Федерации" от 30.12.2001 N 197-ФЗ (ред. от 03.07.2016) (с изм. и доп., вступ. В силу с 01.01.2017)

""ТК РФ, Статья 61. Вступление трудового договора в силу

Путеводитель по кадровым вопросам. Вопросы применения ст. 61 ТК РФ

""Трудовой договор вступает в силу со дня его подписания работником и работодателем, если иное не установлено настоящим "Кодексом", другими федеральными "законами", иными нормативными правовыми актами Российской Федерации или трудовым договором, либо со дня фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя.

(в ред. Федеральных законов от 30.06.2006 N 90-ФЗ, от 28.12.2013 N 421-ФЗ)

(см. текст в предыдущей "редакции")

Работник обязан приступить к исполнению трудовых обязанностей со дня, определенного трудовым договором.

Если в трудовом договоре не определен день начала работы, то работник должен приступить к работе на следующий рабочий день после вступления договора в силу.

(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

(см. текст в предыдущей "редакции)"

""Если работник не приступил к работе в день начала работы, установленный в соответствии с частью второй или третьей настоящей статьи, то работодатель имеет право аннулировать трудовой договор. Аннулированный трудовой договор считается незаключенным. Аннулирование трудового договора не лишает работника права на получение обеспечения по обязательному социальному страхованию при наступлении страхового случая в период со дня заключения трудового договора до дня его аннулирования.

(часть четвертая в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

(см. текст в предыдущей "редакции)"