Можно ли получить через год компенсацию за травму позвоночника при падении с лестницы в медицинском центре?

Можно. Вы вправе обратиться в суд исходя из следующего.

В соответствии со ст. 46 Конституции Российской Федерации каждому гарантируется судебная защита его прав и свобод.

В соответствии с п. 1 ст. 3 ГПК РФ заинтересованное лицо вправе в порядке, установленном законодательством о гражданском судопроизводстве, обратиться в суд за защитой нарушенные либо оспариваемых прав, свобод или законных интересов.

Для предъявления иска Вам необходимо ознакомиться со ст. 131-132 ГПК РФ.