Возможно ли получить компенсацию за аренду квартиры при наличии судебного решения на предоставление жилья?

Нет, компенсация за найм не предусмотрена

Но в соответствии со ст. 189 КАС РФ-

КАС РФ, Статья 189. Отсрочка или рассрочка исполнения решения суда, изменение способа и порядка исполнения решения суда

1. Суд, рассмотревший административное дело, в соответствии с заявлениями лиц, участвующих в деле, судебного пристава-исполнителя либо исходя из имущественного положения сторон или других обстоятельств вправе отсрочить или рассрочить исполнение решения суда, изменить способ и порядок его исполнения.

Таким образом Вам необходимо обратиться в суд который вынес решение о выделении вам квартиры, с заявлением об исполнении порядка и способа исполнения решения

То есть способ предоставления квартиры в натуральной форме-заменить на денежный эквивалент стоимости квартиры.