Какие данные обо мне останутся в государственном наркологическом диспансере, если я попросил их уничтожить?

Уважаемый Антон Геннадьевич, Вы рассматриваете положения закона в отрыве от контекста. В законе идёт речь об обязанности оператора уничтожить неправомерно обрабатываемые персональные данные. В отношении наркологического учёта такими могут быть только данные, неправомерность которых установлена, например, вступившим в законную силу решением суда (о признании незаконным действий по постановке на учёт).

Допустим, "объегорить систему" не получится. Ст.21 152-фз "О персональных данных". Привожу краткую выдержку:

5. В случае отзыва субъектом персональных данных согласия на обработку его персональных данных оператор обязан прекратить их обработку или обеспечить прекращение такой обработки (если обработка персональных данных осуществляется другим лицом, действующим по поручению оператора) и в случае, если сохранение персональных данных более не требуется для целей обработки персональных данных, уничтожить персональные данные или обеспечить их уничтожение...

Таким образом, прекращение обработки и уничтожение персональных данных допускается в случае, если сохранение персональных данных более не требуется для целей обработки. В Вашем случае, целью обработки является учет пациентов и держать на учете Вас будут столько, сколько посчитают нужным.