Какова судьба завещания на часть квартиры после смерти мамы?

Нет, не может. Отказаться от наследства можно только в пользу других наследников, а внук наследником при живом родителе не является.

Да, конечно, Бабушка может отказаться от своей доли, в наследстве от матери в пользу своего внука или может потом написать на неё дарственную

Бабушка не имеет права отказаться от своей доли в наследстве в пользу внука, если есть живые дети, или переживший супруг.

Здравствуйте! В данном случае ГК РФ Статья 1158. Отказ от наследства в пользу других лиц и отказ от части наследства

1. Наследник вправе отказаться от наследства в пользу других лиц из числа наследников по завещанию или наследников по закону любой очереди независимо от призвания к наследованию, не лишенных наследства (пункт 1 статьи 1119), а также в пользу тех, которые призваны к наследованию по праву представления (статья 1146) или в порядке наследственной трансмиссии (статья 1156).

(в ред. Федерального закона от 15.02.2016 N 22-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

Не допускается отказ в пользу какого-либо из указанных лиц:

от имущества, наследуемого по завещанию, если все имущество наследодателя завещано назначенным им наследникам;

от обязательной доли в наследстве (статья 1149);

если наследнику подназначен наследник (статья 1121).

2. Отказ от наследства в пользу лиц, не указанных в пункте 1 настоящей статьи, не допускается.

Не допускается также отказ от наследства с оговорками или под условием.

3. Отказ от части причитающегося наследнику наследства не допускается. Однако если наследник призывается к наследованию одновременно по нескольким основаниям (по завещанию и по закону или в порядке наследственной трансмиссии и в результате открытия наследства и тому подобное), он вправе отказаться от наследства, причитающегося ему по одному из этих оснований, по нескольким из них или по всем основаниям.