Какие права имеют приставы, если должник по алиментам переезжает без прописки?

Да смогут.

Федеральный закон от 02.10.2007 N 229-ФЗ (ред. от 28.05.2017) "Об исполнительном производстве"

Статья 33. Место совершения исполнительных действий и применения мер принудительного исполнения

1. Если должником является гражданин, то исполнительные действия совершаются и меры принудительного исполнения применяются судебным приставом-исполнителем по его месту жительства, месту пребывания или местонахождению его имущества.

2. Если должником является организация, то исполнительные действия совершаются и меры принудительного исполнения применяются по ее юридическому адресу, местонахождению ее имущества или по юридическому адресу ее представительства или филиала.

3. Требования, содержащиеся в исполнительных документах, обязывающих должника совершить определенные действия (воздержаться от совершения определенных действий), исполняются по месту совершения этих действий.

4. В случае отсутствия сведений о местонахождении должника, его имущества, местонахождении ребенка исполнительные действия совершаются и меры принудительного исполнения применяются судебным приставом-исполнителем по последнему известному месту жительства или месту пребывания должника или по месту жительства взыскателя до установления местонахождения должника, его имущества.

всего хорошего.