Как подать иск на соседа в мировой суд или районный суд по поводу незаконно построенного строения на моем участке с ущербом в 16 тыс. рублей?

Если Вы заявите требование об устранении нарушений Ваших прав, то это подсудность районного суда, при том месту нахождения имущества. Непонятно как Вы насчитали ущерб и из чего он складывается;

"Гражданский процессуальный кодекс Российской Федерации" от 14.11.2002 N 138-ФЗ (ред. от 29.07.2017) (с изм. и доп., вступ. В силу с 10.08.2017)

""Статья 30. Исключительная подсудность

""1. Иски о правах на земельные участки, участки недр, здания, в том числе жилые и нежилые помещения, строения, сооружения, другие объекты, прочно связанные с землей, а также об освобождении имущества от ареста предъявляются в суд по месту нахождения этих объектов или арестованного имущества.

(в ред. Федерального закона от 14.07.2008 N 118-ФЗ)

(см. текст в предыдущей "редакции")"Гражданский процессуальный кодекс Российской Федерации" от 14.11.2002 N 138-ФЗ (ред. от 29.07.2017) (с изм. и доп., вступ. В силу с 10.08.2017)

"Гражданский кодекс Российской Федерации (часть первая)" от 30.11.1994 N 51-ФЗ (ред. от 29.07.2017) (с изм. и доп., вступ. В силу с 06.08.2017)

КонсультантПлюс: примечание.

О некоторых вопросах судебной практики по спорам об устранении нарушений права, не связанных с лишением владения, см. Постановление Пленума Верховного Суда РФ N 10, Пленума ВАС РФ N 22 от 29.04.2010, Информационное письмо Президиума ВАС РФ от 15.01.2013 N 153.

""ГК РФ Статья 304. Защита прав собственника от нарушений, не связанных с лишением владения

Позиции высших судов по ст. 304 ГК РФ ">>>"

""Собственник может требовать устранения всяких нарушений его права, хотя бы эти нарушения и не были соединены с лишением владения.