Новое требование об учете рабочего времени вызывает сомнения и недовольство сотрудников

По-видимому, у вас сократили тех, кто обязан контролировать начало и конец рабочих смен, ваш уход и приход, поэтому работодатель имеет право требовать отметку, увы.

В данном случае работодатель конечно имеет право принимать локальные акты в организации, а также вводить данные документы для исполнения всех сотрудников.

Но, согласно ТК РФ, Статья 8. Локальные нормативные акты, содержащие нормы трудового права

Нормы локальных нормативных актов, ухудшающие положение работников по сравнению с установленным трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права, коллективным договором, соглашениями, а также локальные нормативные акты, принятые без соблюдения установленного статьей 372 настоящего Кодекса порядка учета мнения представительного органа работников, не подлежат применению. В таких случаях применяются трудовое законодательство и иные нормативные правовые акты, содержащие нормы трудового права, коллективный договор, соглашения.

По приходу на работу сотрудники ставят в данном журнале свою подпись.

Обычно за данный журнал ответственным за ведение назначают кадровика

В случае если Вы забудете подписать, то это не значит, что Вам не будет выдана зарплата.

Всего хорошего.