Как мне получить листок убытия с Узбекистана не выезжая из России, чтобы мне поменяли старый паспорт в посольстве?

Самостоятельно получить лист убытия не выезжая в РУз у вас не получится.

Для получения листа убытия дистанционно, вам будет выгоднее обратиться в сцециализированные юридические фирмы которые предоставляют такие слуги.

А вот на вопрос сможете ли вы по старому паспорту заверить у нотариуса расписку, вы можете получить ответ самостоятельно. Просто сходите к нотариусу и он Вам даст ответ со ссылкой на нормативные акты. В случае отказа Вы узнаете причину по которой Вам отказано и сможете устранять непосредственно эту причину. Вполне возможно что Вам и не придется получать лист убытия.