Посоветовали написать заявление на имя начальника чтоб сняли этот долг, или лучше сразу жалобу?

Здравствуйте Анна! Вам необходимо представить в орган, требующий с Вас оплату за период, когда Вы не проживали в квартире, документ, подтверждающий Ваше вселение в данное жилое помещение. Также приложите все квитанции об оплате за время Вашего проживания в квартире. Имейте в виду, что в соответствии с Жилищным кодексом РФ, обязанность по внесению платы за жилое помещение и коммунальные услуги возникает у:

1) нанимателя жилого помещения по договору социального найма с момента заключения такого договора;

2) арендатора жилого помещения государственного или муниципального жилищного фонда с момента заключения соответствующего договора аренды;

3) нанимателя жилого помещения по договору найма жилого помещения государственного или муниципального жилищного фонда с момента заключения такого договора;

4) члена жилищного кооператива с момента предоставления жилого помещения жилищным кооперативом;

5) собственника жилого помещения с момента возникновения права собственности на жилое помещение.

До заселения жилых помещений государственного и муниципального жилищных фондов в установленном порядке расходы на содержание жилых помещений и коммунальные услуги несут соответственно органы государственной власти и органы местного самоуправления или управомоченные ими лица.

Таким образом, до момента фактического вселения, у Вас не возникает обязанности производить оплату за предыдущего жильца. Просто продолжайте платить за время, пока сами проживаете в квартире. Если ЖЭУ обратиться в суд о взыскании с Вас данной задолженности, то вероятнее всего суд откажет в удовлетворении заявленных требований.