Могу я работать в банке, если у моих родителей криминальное прошлое?

Можете

если служба безопасности пропустит.

Статья 16 Трудового кодекса Российской Федерации. Основания возникновения трудовых отношений Трудовые отношения возникают между работником и работодателем на основании трудового договора, заключаемого ими в соответствии с настоящим Кодексом. В случаях и порядке, которые установлены трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права, или уставом (положением) организации, трудовые отношения возникают на основании трудового договора в результате: назначения на должность или утверждения в должности; судебного решения о заключении трудового договора; признания отношений, связанных с использованием личного труда и возникших на основании гражданско-правового договора, трудовыми отношениями. Трудовые отношения между работником и работодателем возникают также на основании фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя в случае, когда трудовой договор не был надлежащим образом оформлен Фактическое допущение работника к работе без ведома или поручения работодателя либо его уполномоченного на это представителя запрещается.