Каким образом это сделать, нужно в договоре указать, что квартира дарится как компенсация?

Евгения, ваша проблема разрешима и довольно таки просто:

Вы к сожалению не указали прописана ли бабушка в той квартире или нет, какая квадратура жилой плщади , т.е. при условии, что бабушка прописана, существуют ли в вашем регионе ограничения по площади минимального лимита на человека для прописки. Но даже без этих данных схема очень проста. Ваша бабушка через учреждение юстиции (регистрационная палата) продает вам и вашему ребенку за номинальную стоимость свою квартиру, естественно договор в простой форме и имеет оговорку, что деньги в такойто сумме вами получены до подписания договора.В преамбуле договора в качестве продавца фигурируете Вы, а так же ваш несовершеннолетний ребенок. При получении свидетельства о праве собственности там будет фигурировать ваш ребенок, и вы без труда сможете продать первую квартиру , предварительно получив разрешение из органов опеки и попичительства. Бабушку же свою Вы прописываете, как родственника , в преобретенную у нее квартиру. Данная схема позваляет уйти от лишних расходов на независимого оценщика рыночной стоимости имущества, натариуса (оформление договора дарения и уплаты ему працента от сделки), а так же данная сделка облагается нологам, а сделка по купле продаже жилья в сумме до 1000000 р. налогом не облагается. А самое главное данная схема легальна.

Желаю удачи.