Должен ли я дважды оплачивать капитальный ремонт после переселения?

Это не одно и тоже. Не нужно путать абсолютно разные платежи. Капитальный и текущий ремонт оплачиваются на разные счета.

ЖК РФ, Статья 169. Взносы на капитальный ремонт общего имущества в многоквартирном доме

""1. Собственники помещений в многоквартирном доме обязаны уплачивать ежемесячные взносы на капитальный ремонт общего имущества в многоквартирном доме, за исключением случаев, предусмотренных частью 2 настоящей статьи, частью 8 статьи 170 и частью 5 статьи 181 настоящего Кодекса, в размере, установленном в соответствии с частью 8.1 статьи 156 настоящего Кодекса, или, если соответствующее решение принято общим собранием собственников помещений в многоквартирном доме, в большем размере.

(в ред. Федерального закона от 29.07.2017 N 257-ФЗ)

(см. текст в предыдущей "редакции")

""2. Взносы на капитальный ремонт не уплачиваются собственниками помещений в многоквартирном доме, признанном в установленном Правительством Российской Федерации порядке аварийным и подлежащим сносу, а также в случае принятия исполнительным органом государственной власти или органом местного самоуправления решений об изъятии для государственных или муниципальных нужд земельного участка, на котором расположен этот многоквартирный дом, и об изъятии каждого жилого помещения в этом многоквартирном доме, за исключением жилых помещений, принадлежащих на праве собственности Российской Федерации, субъекту Российской Федерации или муниципальному образованию. Собственники помещений в многоквартирном доме освобождаются от обязанности уплачивать взносы на капитальный ремонт начиная с месяца, следующего за месяцем, в котором принято решение об изъятии такого земельного участка.

""2.1. Законом субъекта Российской Федерации может быть предусмотрено предоставление компенсации расходов на уплату взноса на капитальный ремонт, рассчитанного исходя из минимального размера взноса на капитальный ремонт на один квадратный метр общей площади жилого помещения в месяц, установленного нормативным правовым актом субъекта Российской Федерации, и размера регионального стандарта нормативной площади жилого помещения, используемой для расчета субсидий, одиноко проживающим неработающим собственникам жилых помещений, достигшим возраста семидесяти лет, - в размере пятидесяти процентов, восьмидесяти лет, - в размере ста процентов, а также проживающим в составе семьи, состоящей только из совместно проживающих неработающих граждан пенсионного возраста, собственникам жилых помещений, достигшим возраста семидесяти лет, - в размере пятидесяти процентов, восьмидесяти лет, - в размере ста процентов.

(часть 2.1 введена Федеральным законом от 29.12.2015 N 399-ФЗ)

Текущий ремонт многоквартирного дома подразумевает целый комплекс организационно-технических и строительных мероприятий, проводимых с целью восстановления работоспособности оборудования и инженерных систем жилого дома для нормализации эксплуатационных показателей.

Текущий ремонт дома проводится на основании постановления общего собрания собственников квартир в данном доме.