Может ли свидетельство об отсутствии заботы стать основанием для лишения наследства?

Нет, это не основание для признания наследника недостойным. Согласно п. 1 статьи 1117 ГК РФ, не наследуют ни по закону, ни по завещанию граждане, которые своими умышленными противоправными действиями, направленными против наследодателя, кого-либо из его наследников или против осуществления последней воли наследодателя, выраженной в завещании, способствовали либо пытались способствовать призванию их самих или других лиц к наследованию либо способствовали или пытались способствовать увеличению причитающейся им или другим лицам доли наследства, если эти обстоятельства подтверждены в судебном порядке. При этом, как разъяснил Верховный Суд РФ, наследник является недостойным согласно абзацу первому пункта 1 статьи 1117 ГК РФ при условии, что перечисленные в нем обстоятельства, являющиеся основанием для отстранения от наследования, подтверждены в судебном порядке - приговором суда по уголовному делу или решением суда по гражданскому делу (например, о признании недействительным завещания, совершенного под влиянием насилия или угрозы). В Вашем случае для отстранения наследника от наследства и признания его недостойным наследником необходим как минимум приговор суда о признании его виновным в совершении преступления, предусмотренного статьей 125 УК РФ (оставление в опасности). Но по изложенному в вопросе оснований для такого приговора также не усматривается.