Теперь администрация утверждает, что время больничного не входит в этот срок, и следовательно он должен быть увеличен.

Думаю, что администрация не права. Хотя в Трудовом кодексе РФ (ТК) и нет четкого ответа, но согласно статье 80 ТК работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме за две недели. Предупредив работодателя, работник (т.е. Вы) выполнил свою обязанность. Эти две недели даются работодателю для поиска другого работника, но не дают ему возможность принуждать работника (т.е. Вас) отрабатывать при любых обстоятельствах две недели. Поэтому увеличение срока производиться не должно.

С уважением,