Как уведомить биржу занятости о предложенной работе и регулирование выплаты пособия?

Это Ваше право, сообщать или нет. Если сообщите, то Вас могу снять с учета и потребовать обратно выплаченное пособие. Если не сообщите, а органы занятости узнают о Вашей трудовой деятельности - так же могут снять с учета и обязаны будете выплатить незаконно начисленное пособие.

Согласно подпункту а пункта 20 Правил регистрации безработных граждан (утв. постановлением Правительства РФ от 7 сентября 2012 г. N 891) снятие с регистрационного учета безработных граждан осуществляется государственными учреждениями службы занятости населения в случае признания гражданина занятым по основаниям, предусмотренным статьей 2 Закона Российской Федерации "О занятости населения в Российской Федерации";

В соответствии со статей 2 Закона Российской Федерации "О занятости населения в Российской Федерации" занятыми считаются граждане:

Занятыми считаются граждане:

работающие по трудовому договору, в том числе выполняющие работу за вознаграждение на условиях полного либо неполного рабочего времени, а также имеющие иную оплачиваемую работу (службу), включая сезонные, временные работы, за исключением общественных работ (кроме граждан, участвующих в общественных работах и указанных в пункте 3 статьи 4 настоящего Закона) и осуществления полномочий членов избирательных комиссий, комиссий референдума с правом решающего голоса не на постоянной (штатной) основе;

зарегистрированные в установленном порядке в качестве индивидуальных предпринимателей, а также нотариусы, занимающиеся частной практикой, адвокаты, учредившие адвокатские кабинеты, и иные лица, чья профессиональная деятельность в соответствии с федеральными законами подлежит государственной регистрации и (или) лицензированию (далее - индивидуальные предприниматели);

занятые в подсобных промыслах и реализующие продукцию по договорам;

выполняющие работы по договорам гражданско-правового характера, предметами которых являются выполнение работ и оказание услуг, авторским договорам, а также являющиеся членами производственных кооперативов (артелей);

избранные, назначенные или утвержденные на оплачиваемую должность;

проходящие военную службу, альтернативную гражданскую службу, а также службу в органах внутренних дел, Государственной противопожарной службе, учреждениях и органах уголовно-исполнительной системы;

обучающиеся по очной форме обучения в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, включая обучение по направлению государственной службы занятости населения (далее - органы службы занятости);

временно отсутствующие на рабочем месте в связи с нетрудоспособностью, отпуском, переподготовкой, повышением квалификации, приостановкой производства, вызванной забастовкой, призывом на военные сборы, привлечением к мероприятиям, связанным с подготовкой к военной службе (альтернативной гражданской службе), исполнением других государственных обязанностей или иными уважительными причинами;

являющиеся учредителями (участниками) организаций, за исключением учредителей (участников) некоммерческих организаций, организационно-правовая форма которых не предполагает права учредителей (участников) на получение дохода от деятельности этих организаций, включая членов товариществ собственников жилья, а также членов жилищных, жилищно-строительных, дачных, гаражных кооперативов и иных специализированных потребительских кооперативов, создаваемых в целях удовлетворения потребностей граждан, которые не получают доход от их деятельности;

являющиеся членами крестьянского (фермерского) хозяйства.

На счет мошенничества - да, могут и привлечь, но это мало вероятно, если Вы добровольно вернете деньги, полученные в качестве пособия. Решать Вам.