Сотрудник написал на моё имя служебную записку обязательно ли на неё отвечать?

Все зависит от содержания данной записки, если содержание носит характер заявления, надо рассматривать, если характер жалобы, надо рассматривать.. Закон не обязывает давать письменный ответ, если он этого не требует, еще раз все зависит от содержания данной записки. Но лучше письменно отписаться. Ст. 62 ТК РФ

ТК РФ Статья 62. Выдача документов, связанных с работой, и их копий

(в ред. Федерального закона от 21.07.2014 N 216-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

Путеводитель по кадровым вопросам. Вопросы применения ст. 62 ТК РФ

По письменному заявлению работника работодатель обязан не позднее трех рабочих дней со дня подачи этого заявления выдать работнику трудовую книжку в целях его обязательного социального страхования (обеспечения), копии документов, связанных с работой (копии приказа о приеме на работу, приказов о переводах на другую работу, приказа об увольнении с работы; выписки из трудовой книжки; справки о заработной плате, о начисленных и фактически уплаченных страховых взносах на обязательное пенсионное страхование, о периоде работы у данного работодателя и другое). Копии документов, связанных с работой, должны быть заверены надлежащим образом и предоставляться работнику безвозмездно.

Можно применить аналогию Закона. - в соответствии с п. 1 ст. 12 Федерального закона РФ «О порядке обращений граждан Российской Федерации» от 02.05.2006 (ред. от 29.06.2010) № 59-ФЗ письменное обращение, поступившее.