Выпишут-ли меня и как повлияет, после прописки, мой долг.

В отношении "выписки" - никто не вправе Вас "удерживать" в жилом помещении, более того, Вы можете просто подать документы на регистрацию по новому месту жительства, на этом основании Вас автоматически снимут с учета по предыдущему месту регистрации.

В отношении Вашей мамы и права на субсидию - необходимо сделать расчет исходя из Вашего совместного дохода. Вопросы назначения субсиий рассматриваются регионльным законодательством:ст. 159 ЖК РФ "Субсидии на оплату жилого помещения и коммунальных услуг (далее - субсидии) предоставляются гражданам в случае, если их расходы на оплату жилого помещения и коммунальных услуг, рассчитанные исходя из размера регионального стандарта нормативной площади жилого помещения, используемой для расчета субсидий, и размера регионального стандарта стоимости жилищно-коммунальных услуг, превышают величину, соответствующую максимально допустимой доле расходов граждан на оплату жилого помещения и коммунальных услуг в совокупном доходе семьи." Как правило, в среднем, расходы не должны превышать 20% от совокупного дохода членов семьи. Более точно можно посчитать, посмотрев региональное законодательство.

К сожалению, Вы не указали свой регион (субъект федерации), где находится Ваш город.