Какокй договор заключить и как его оформить грамотно, какие стороны в договоре должны быть предусмотрены (Перевозчик и...)?

Проще всего - договор аренды транспортного средства с экипажем.

"Статья 632. Договор аренды транспортного средства с экипажем

По договору аренды (фрахтования на время) транспортного средства с экипажем арендодатель предоставляет арендатору транспортное средство за плату во временное владение и пользование и оказывает своими силами услуги по управлению им и по его технической эксплуатации.

Правила о возобновлении договора аренды на неопределенный срок и о преимущественном праве арендатора на заключение договора аренды на новый срок (статья 621) к договору аренды транспортного средства с экипажем не применяются.

Статья 638. Договоры с третьими лицами об использовании транспортного средства

1. Если договором аренды транспортного средства с экипажем не предусмотрено иное, арендатор вправе без согласия арендодателя сдавать транспортное средство в субаренду.

2. Арендатор в рамках осуществления коммерческой эксплуатации арендованного транспортного средства вправе без согласия арендодателя от своего имени заключать с третьими лицами договоры перевозки и иные договоры, если они не противоречат целям использования транспортного средства, указанным в договоре аренды, а если такие цели не установлены, назначению транспортного средства".