Может ли младший сержант получить звание «прапорщик» с профессиональным образованием?

Здравствуйте. Да у вас есть такая возможность. Согласно Указу Президента РФ от 16.09.1999 N 1237 (ред. от 27.12.2017) "Вопросы прохождения военной службы" (вместе с "Положением о порядке прохождения военной службы")

Статья 21. Порядок присвоения первого воинского звания

4. Воинское звание прапорщика (мичмана) присваивается:

в) военнослужащему, не имеющему воинского звания прапорщика (мичмана), проходящему военную службу по контракту, имеющему высшее или среднее профессиональное образование, родственное соответствующей военно-учетной специальности, и назначенному на воинскую должность, для которой штатом предусмотрено воинское звание прапорщика (мичмана), - при назначении на соответствующую воинскую должность;

Статья 11. Порядок назначения на воинские должности

10. При назначении на воинские должности соблюдаются следующие условия:

а) на воинские должности, подлежащие замещению солдатами, матросами, сержантами, старшинами, прапорщиками, мичманами и офицерами, назначаются военнослужащие соответствующего состава. При невозможности назначения на указанные воинские должности военнослужащих соответствующего состава на них могут быть назначены военнослужащие нижестоящего состава в порядке, определяемом руководителем федерального органа исполнительной власти, в котором предусмотрена военная служба;

Подпунктом «в» п.4 ст. 21 определены условия присвоения воинского звания прапорщика (наличие соответствующего уровня образования и состоявшийся факт назначения на должность), а не условия самого назначения на должность.

Порядок назначения на должность устанавливает ст 11 этого же Указа. Подпункт «а» п.10 этой статьи не содержит запрета для назначения на соответствующую должность лиц нижестоящего состава, допускает возможность такого назначения, хотя и с оговоркой, что порядок назначения на должность таких лиц определяется соответствующим приказом МО РФ.