Возможность увольнения по желанию и сроки его осуществления

Я просто не совсем поняла вопрос - вы написали, что уже написали заявление на увольнение 1 июня с просьбой уволить 2 июня...

с учетом вашего уточнения: срок предупреждения - 2 недели.

Вы можете завтра или позднее написать заявление с просьбой уволить 1 июня, в этот день вас должны уволить. Если решите писать 1 июня, то срок предупреждения - 2 недели, если работодатель не согласиться уволить вас ранее этого срока. 2 июня - суббота, если у вас отдел кадров не работает - то с увольнением могут возникнуть проблемы, уволят 4 июня.

И еще момент - до истечения срока предупреждения об увольнении работник имеет право в любое время отозвать свое заявление. Увольнение в этом случае не производится, если на его место не приглашен в письменной форме другой работник, которому в соответствии с настоящим Кодексом и иными федеральными законами не может быть отказано в заключении трудового договора.

В общем ваш порядок действий зависит от того, чего вы хотите. Если цель - уволиться на следующий день после написания заявления, то это возможно только при согласии работодателя либо если работодатель нарушает закон.

Статья 80 Трудового кодекса

В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательную организацию, выход на пенсию и другие случаи), а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.