Правовые аспекты приватизации квартиры и написание завещания - совместная собственность и переход доли при смерти супругов

1). Мы с супругом предполагаем приватизировать квартиру на двоих, прошу объяснить правильно ли я понимаю, что такая собственность называется "совместной"? (эти знания мне необходимы для правильного заполнения документов). 2). Оформив подобным образом приватизацию, можем ли мы написать завещание у натариуса со следующими условиями: В случае смерти одного из супругов его доля переходит в собственность другого супруга, а когда умрет и другой, то квартира переходит в собственность дочери и внука?