Ошибка в имени жены в паспорте - как разрешить проблему с помощью суда?

Не понятно о каком договоре Вы говорите. Вы письменно обращались в администрацию с заявлением о заключении дополнительного соглашения к договору? Ответить Вам обязаны в таком случае.

Если внесудебным способом ничего не добились, то можно обратиться в суд по месту своего жительства с заявлением об установлении факта, имеющего юридическое значение - факта принадлежности правоустанавливающего документа.

"Гражданский процессуальный кодекс Российской Федерации" от 14.11.2002 N 138-ФЗ (ред. от 03.04.2018)

""Статья 264. Дела об установлении фактов, имеющих юридическое значение

""1. Суд устанавливает факты, от которых зависит возникновение, изменение, прекращение личных или имущественных прав граждан, организаций.

""2. Суд рассматривает дела об установлении:

1) родственных отношений;

2) факта нахождения на иждивении;

""3) факта регистрации рождения, усыновления (удочерения), брака, расторжения брака, смерти;

4) факта признания отцовства;

""5) факта принадлежности правоустанавливающих документов (за исключением воинских документов, паспорта и выдаваемых органами записи актов гражданского состояния свидетельств) лицу, имя, отчество или фамилия которого, указанные в документе, не совпадают с именем, отчеством или фамилией этого лица, указанными в паспорте или свидетельстве о рождении;

""6) факта владения и пользования недвижимым имуществом;

7) факта несчастного случая;

""8) факта смерти в определенное время и при определенных обстоятельствах в случае отказа органов записи актов гражданского состояния в регистрации смерти;

""9) факта принятия наследства и места открытия наследства;

""10) других имеющих юридическое значение фактов.