Можно ли продлить срок пребывания в Самаре заключив трудовой договор с частным лицом.

Предполагается, что трудовой договор имеет силу при наличие патента. А сам патент действует на количество оплаченных месяцев. А по поводу трудового договора с частным лицом. Такого в Трудовом кодексе нет. Так как частное лицо не может быть Работодателем, в плане Трудового кодекса. Частное лицо может быть стороной по договору подряда, например. Как Заказчик. Но это разовый договор. А Вы наверно, имеете в виду трудовой договор, предусмотренный Трудовым кодексом, не так ли?