Возможность ребенку жить с отцом с 16 лет, но без его официальной записи - права матери и возможность обжалования решения.

Нет. Согласно пункту 2 статьи 20 ГК РФ

Местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей - родителей, усыновителей или опекунов

Вы же пишите, что ребенку уже более 14 лет, т.е. он вправе сам выбирать, с кем ему проживать. Наказать его за это не могут.