Куда мне обратится на счет заброшенной квартиры чтоб мне можно было туда заселится.

Согласно Пленума Верховного Суда Российской Федерации в Постановления №10 от 29 апреля 2010 года:

п.15. в силу п.1 ст.234 ГК РФ лицо – гражданин или юридическое лицо, - НЕ являющееся собственником имущества, но добросовестно, открыто и непрерывно владеющее как своим собственным недвижимым имуществом в течение ПЯТНАДЦАТИ лет либо иным имуществом в течение ПЯТИ лет, приобретает право собственности на это имущество (приобретательская давность).

п.17. в силу п. 2 ст. 234 ГК РФ до приобретения на имущество права собственности в силу приобретательной давности лицо, владеющее имуществом как своим собственным, имеет право на защиту своего владения против третьих лиц, не являющихся собственниками имущества, а также не имеющих прав на владение им в силу иного предусмотренного законом или договором основания.

Следовательно, давностный владелец имеет право на защиту своего владения применительно к правилам статей 301, 304 ГК РФ.

Тем самым, исходя из выше изложенного имеются законные основания утверждать, что:

-если и после истечения ПЯТНАДЦАТИ лет никто НЕ вступит в право наследования, то вы как ДАВНОСТНЫЙ ВЛАДЕЛЕЦ будете иметь законное право в судебном порядке требовать признания Права собственности на данную квартиру!

Удачи Вам, Дмитрий!