Как вызвать совесть человека, который игнорирует общение с детьми и не осуществляет свою родительскую роль?

Совесть тут ни при чем, всё решается в рамках закона.

Согласно пункта 1 статьи 66 Семейного кодекса РФ родитель, проживающий отдельно от ребенка, имеет права на общение с ребенком, участие в его воспитании и решение вопросов получения ребенком образования. Родитель, с которым проживает ребенок, не должен препятствовать общению ребенка с другим родителем, если такое общение не причиняет вред физическому и психическому здоровью ребенка, его нравственному развитию. Согласно пункта 2 статьи 66 Семейного кодекса РФ, родители вправе заключить в письменной форме соглашение о порядке осуществления родительских прав родителем, проживающим отдельно от ребенка. Если родители не могут прийти к соглашению, спор разрешается судом с участием органа опеки и попечительства по требованию родителей (одного из них). Согласно пункта 8 Постановления Пленума Верховного Суда РФ "О применении судами законодательства при разрешении споров, связанных с воспитанием детей", исходя из права родителя, проживающего отдельно от ребенка, на общение с ним, а также из необходимости защиты прав и интересов несовершеннолетнего при общении с этим родителем, суду с учетом обстоятельств каждого конкретного дела следует определить порядок такого общения (время, место, продолжительность общения и т.п.), изложив его в резолютивной части решения. При определении порядка общения родителя с ребенком принимаются во внимание возраст ребенка, состояние его здоровья, привязанность к каждому из родителей и другие обстоятельства, способные оказать воздействие на физическое и психическое здоровье ребенка, на его нравственное развитие.

Поэтому Вам не в интернет, а в районный суд по месту жительства ответчицы, с иском об определении порядка общения с детьми. В иске Вам, среди прочего, необходимо будет указать Ваш вариант графика общения с детьми. Окончательный график такого общения будет определен судьей, по результатам разбирательства дела.