Заболел перед сменой и остался дома - нужно ли обязательно обращаться к врачу и как это повлияет на мой испытательный срок?

Нет, главное - это не дата открытия листка нетрудоспособности, а Ваша болезнь, то есть уважительная причина невыхода на работу (из-за состояния здоровья). Другое дело, что Вам нужно будет подтвердить болезнь в период, на который не будет распространяться листок нетрудоспособности. Это можно сделать разными медицинскими документами, в которых будет зафиксирована дата Вашего заболевания, которые Вам лучше представить работодателю вместе с листком нетрудоспособности. В суде (если до этого дойдёт) - показания врача. Я бы Вам все-таки рекомендовал: доказательно (например, письмо по электронной почте, и т.д.) уведомить работодателя о Вашей болезни и о том, что Вы обратитесь за медицинской помощью только завтра по таким-то уважительным причинам (если таковых нет, то только о болезни). НО: 1) лучше все-таки фиксировать факт обращения за медпомощью в день невыхода на работу (т.е. к совету Вашего начальника все-таки стоит прислушаться); 2) были случаи, когда работник получал лечение на дому несколько дней, не оформляя листок нетрудоспособности, был уволен за прогул и Мосгорсуд подтвердил правомерность такого увольнения (так что листок нетрудоспособности Вам понадобиться, и чем меньше будет разрыв между периодом Вашего невыхода на работу и периодом в этом листке, тем лучше).