Может ли суд взыскать моральный вред за невыплату страховой суммы (до лимита ответственности)

Игорь я думаю, вы не совсем корректно сформулировали вопрос, поэтому отвечу конкретно, если что то будет не понятно, уточните вопрос.

Моральный вред за невыплату страховой суммы, страховой компанией взыскать скорее не удастся.

А вот материальный и моральный вред, причинённый в результате ДТП вполне реально.

В соответствии со ст. 151 ГК РФ Если гражданину причинен моральный вред (физические или нравственные страдания) действиями, нарушающими его личные неимущественные права либо посягающими на принадлежащие гражданину другие нематериальные блага, а также в других случаях, предусмотренных законом, суд может возложить на нарушителя обязанность денежной компенсации указанного вреда.

При определении размеров компенсации морального вреда суд принимает во внимание степень вины нарушителя и иные заслуживающие внимания обстоятельства. Суд должен также учитывать степень физических и нравственных страданий, связанных с индивидуальными особенностями лица, которому причинен вред.

В соответствии со ст. 1100 ГК РФ Компенсация морального вреда осуществляется независимо от вины причинителя вреда в случаях, когда вред причинен жизни или здоровью гражданина источником повышенной опасности. А автомобиль, как известно, является источником повышенной опасности.