Можно ли закрыть уголовное дело без написания заявления и наказания для парня по статье 134?

В данном случае наличие либо отсутствие заявления потерпевшей не имеет значения. В случае, если органами следствия факт полового сношения между Вашей дочерью и молодым человеком установлен, будут все основания для возбуждения дела.

А здесь и заявление не требуется, поскольку данное уголовное дело является публичным (ч. 5 ст. 20 УПК РФ), так что ваше заявление совсем не требуется.

А вот прекратить можете либо на стадии следствия либо в суде.

Согласно правовой позиции, выраженной в Определении Конституционного Суда Российской Федерации от 4 июня 2007 г. N 519-О-О в соответствии со статьей 71 (пункт "о") Конституции Российской Федерации уголовное и уголовно-процессуальное законодательство находятся в ведении Российской Федерации. Федеральный законодатель, реализуя принадлежащие ему полномочия, правомочен как устанавливать в законе ответственность за правонарушения, так и устранять её, а также определять, какие меры государственного принуждения подлежат использованию в качестве средств реагирования на те или иные деяния и при каких условиях возможен отказ от их применения. В частности, он закрепил в статье 25 УПК Российской Федерации правило, согласно которому орган или должностное лицо, осуществляющие уголовное судопроизводство, вправе принять решение о прекращении уголовного дела в связи с примирением сторон.

В соответствии со ст. 25 УПК РФ лицо, впервые совершившее преступление небольшой или средней тяжести, может быть освобождено от уголовной ответственности, если оно примирилось с потерпевшим и загладило причинённый потерпевшему вред.

Так что заявляйте о прекращении уголовного дела, что вред заглажен, претензий не имеем, примирились.