Можно ли совмещать работу педагога дополнительного образования с должностью педагога начальных классов?

Можете, в порядке совмещения - в той же организации. Совместительством - в другой организации.

Обратитесь к руководителю. Дополнительным соглашением он может поручить вам дополнительную работу по другой должности.

Для педагогов установлено исключение, педагогическая работа в той же организации не является совместительством и не требует заключения трудового договора (пункт 2 постановления Минтруда России от 30 июня 2003 г. № 41).

Если работа в другой организации, то заключите договор о совместительстве не более чем на половину ставки.

Требования к квалификации учителя установлены ЕКС, утв. приказом Министерства здравоохранения и социального развития РФ от 26.08.2010 № 761 н:

Высшее профессиональное образование или среднее профессиональное образование по направлению подготовки "Образование и педагогика" или в области, соответствующей преподаваемому предмету, без предъявления требований к стажу работы, либо высшее профессиональное образование или среднее профессиональное образование и дополнительное профессиональное образование по направлению деятельности в образовательном учреждении без предъявления требований к стажу работы.