Какие права у работника по срочному договору на больничный и больничный по уходу за ребенком?

Все - зависит от конкретных обстоятельств. Но для ответа - мало данных. Поищите подходящий под Вашу конкретику ответ.

Федеральный закон от 29.12.2006 N 255-ФЗ (ред. от 27.06.2018) "Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством"

Статья 6. Условия и продолжительность выплаты пособия по временной нетрудоспособности

4. Застрахованному лицу, заключившему срочный трудовой договор (срочный служебный контракт) на срок до шести месяцев, а также застрахованному лицу, у которого заболевание или травма наступили в период со дня заключения трудового договора до дня его аннулирования, пособие по временной нетрудоспособности (за исключением заболевания туберкулезом) выплачивается не более чем за 75 календарных дней по этому договору. При заболевании туберкулезом пособие по временной нетрудоспособности выплачивается до дня восстановления трудоспособности (установления инвалидности). При этом застрахованному лицу, у которого заболевание или травма наступили в период со дня заключения трудового договора до дня его аннулирования, пособие по временной нетрудоспособности выплачивается со дня, с которого работник должен был приступить к работе.

5. Пособие по временной нетрудоспособности при необходимости осуществления ухода за больным членом семьи выплачивается застрахованному лицу:

1) в случае ухода за больным ребенком в возрасте до 7 лет - за весь период лечения ребенка в амбулаторных условиях или совместного пребывания с ребенком в медицинской организации при оказании ему медицинской помощи в стационарных условиях, но не более чем за 60 календарных дней в календарном году по всем случаям ухода за этим ребенком, а в случае заболевания ребенка, включенного в перечень заболеваний, определяемый федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по выработке и реализации государственной политики и нормативно-правовому регулированию в сфере здравоохранения, не более чем за 90 календарных дней в календарном году по всем случаям ухода за этим ребенком в связи с указанным заболеванием;

2) в случае ухода за больным ребенком в возрасте от 7 до 15 лет - за период до 15 календарных дней по каждому случаю лечения ребенка в амбулаторных условиях или совместного пребывания с ребенком в медицинской организации при оказании ему медицинской помощи в стационарных условиях, но не более чем за 45 календарных дней в календарном году по всем случаям ухода за этим ребенком;

3) в случае ухода за больным ребенком-инвалидом в возрасте до 18 лет - за весь период лечения ребенка в амбулаторных условиях или совместного пребывания с ребенком в медицинской организации при оказании ему медицинской помощи в стационарных условиях, но не более чем за 120 календарных дней в календарном году по всем случаям ухода за этим ребенком;

4) в случае ухода за больным ребенком в возрасте до 18 лет, являющимся ВИЧ-инфицированным, - за весь период совместного пребывания с ребенком в медицинской организации при оказании ему медицинской помощи в стационарных условиях;

5) в случае ухода за больным ребенком в возрасте до 18 лет при его болезни, связанной с поствакцинальным осложнением, при злокачественных новообразованиях, включая злокачественные новообразования лимфоидной, кроветворной и родственных им тканей, - за весь период лечения ребенка в амбулаторных условиях или совместного пребывания с ребенком в медицинской организации при оказании ему медицинской помощи в стационарных условиях;

6) в остальных случаях ухода за больным членом семьи при лечении в амбулаторных условиях - не более чем за 7 календарных дней по каждому случаю заболевания, но не более чем за 30 календарных дней в календарном году по всем случаям ухода за этим членом семьи.