Как взыскать компенсацию за детский сад в полном объеме и на какие статьи можно ссылаться?

Нельзя определить точно. Федеральным законодательством это не регулируется, только региональным.

Федеральный закон от 29.12.2012 N 273-ФЗ (ред. от 03.08.2018) "Об образовании в Российской Федерации"

Статья 65. Плата, взимаемая с родителей (законных представителей) за присмотр и уход за детьми, осваивающими образовательные программы дошкольного образования в организациях, осуществляющих образовательную деятельность

5. В целях материальной поддержки воспитания и обучения детей, посещающих образовательные организации, реализующие образовательную программу дошкольного образования, родителям (законным представителям) предоставляется компенсация. Размер компенсации устанавливается законами и иными нормативными правовыми актами субъектов Российской Федерации и не должен быть менее двадцати процентов среднего размера родительской платы за присмотр и уход за детьми в государственных и муниципальных образовательных организациях, находящихся на территории соответствующего субъекта Российской Федерации, на первого ребенка, не менее пятидесяти процентов размера такой платы на второго ребенка, не менее семидесяти процентов размера такой платы на третьего ребенка и последующих детей. Средний размер родительской платы за присмотр и уход за детьми в государственных и муниципальных образовательных организациях устанавливается органами государственной власти субъекта Российской Федерации. Право на получение компенсации имеет один из родителей (законных представителей), внесших родительскую плату за присмотр и уход за детьми в соответствующей образовательной организации. При предоставлении компенсации органы государственной власти субъектов Российской Федерации вправе законами и иными нормативными правовыми актами субъектов Российской Федерации устанавливать критерии нуждаемости.

6. Порядок обращения за получением компенсации, указанной в части 5 настоящей статьи, и порядок ее выплаты устанавливаются органами государственной власти субъектов Российской Федерации.

7. Финансовое обеспечение расходов, связанных с выплатой компенсации, указанной в части 5 настоящей статьи, является расходным обязательством субъектов Российской Федерации.