Ошибка в свидетельстве о рождении приводит к спору о правильном написании фамилии Безмельницина и возможностях ее изменения

При регистрации в 1969 году в моем свидетельстве о рождении была допущена ошибка в фамилии Безмельницина после буквы «ц» написана буква «и», а надо букву «ы» как у родителей через «Ы». Первый паспорт мне тоже выдали на фамилию Безмельницына и все документы мне всегда выдавались на Безмельницыну. В связи с допущенной ошибкой в свидетельстве о рождении - теперь необходимо мне доказать, что фамилия моя должна писаться с буквой «ы», как у родителей.

Обратилась в Загс, они сделали запрос по месту рождения отца в Казахстан выяснилось, что там в его акте регистрации в фамилии исправления – исправлено была БезмельницЕВ исправлено на БезмельницЫН. А фамилия родителей отца вообще Безменцев Федор и Ефимия, хотя тоже все родственники по жизне числятся под фамилией Безмельницыны.

Загс ответил, что мы Вам откажем - обращайтесь в суд.

У меня вопрос родители могут дать любую фамилию, у нас законодательство не регламенирует, что должна быть такая же фамилия у ребёнка как у родителей?

Получается, что ошибку допустил паспортный стол при выдаче первого паспорта.

Подскажите, пожалуйста, могу я обратиться в УФМС для выдачи документа подтверждающего, что по существу паспортным столом была допущена ошибка при выдаче паспорта и получается мне выдали паспорт на другую фамилию.

Или же мне всё равно придётся обращаться в суд и тогда как правильно написать исковое заявление.

Спасибо.