Кто подписывает трудовой договор с новым директором в компании при отсутствии учета данного момента в протоколе о переизбрании?

Здравствуйте, если ваша компания ООО, то договор подписывается от имени общества лицом, председательствовавшим на общем собрании участников общества.

Федеральный закон от 08.02.1998 №14-ФЗ "Об обществах с ограниченной ответственностью"

Статья 40. Единоличный исполнительный орган общества

1. Единоличный исполнительный орган общества (генеральный директор, президент и другие) избирается общим собранием участников общества на срок, определенный уставом общества, если уставом общества решение этих вопросов не отнесено к компетенции совета директоров (наблюдательного совета) общества. Единоличный исполнительный орган общества может быть избран также не из числа его участников.

Договор между обществом и лицом, осуществляющим функции единоличного исполнительного органа общества, подписывается от имени общества лицом, председательствовавшим на общем собрании участников общества, на котором избрано лицо, осуществляющее функции единоличного исполнительного органа общества, или участником общества, уполномоченным решением общего собрания участников общества, либо, если решение этих вопросов отнесено к компетенции совета директоров (наблюдательного совета) общества, председателем совета директоров (наблюдательного совета) общества или лицом, уполномоченным решением совета директоров (наблюдательного совета) общества.