Если вы хотите установить отцовство биологического отца ребёнка, то необходимо обратиться в орган ЗАГС с совместным заявлением (вашим и отца ребёнка) или обратиться в суд с иском об установлении отцовства (при отсутствии заявления отца ребёнка).

Если вы просто хотите заменить прочерк в свидетельстве о рождении ребёнка на произвольные ФИО, вы можете обратиться в орган ЗАГС для изменения записи о рождении ребёнка (с заявлением о внесении в запись акта о рождении сведений об отце ребенка).

Статья 51 Семейного кодекса РФ. Запись родителей ребенка в книге записей рождений

2. Если родители не состоят в браке между собой, запись о матери ребенка производится по заявлению матери, а запись об отце ребенка - по совместному заявлению отца и матери ребенка, или по заявлению отца ребенка (пункт 3 статьи 48 настоящего Кодекса), или отец записывается согласно решению суда.

Статья 69 ФЗ от 15.11.1997 N 143-ФЗ "Об актах гражданского состояния". Основания для внесения исправлений и изменений в записи актов гражданского состояния

1. Внесение исправлений и изменений в записи актов гражданского состояния производится органом записи актов гражданского состояния при наличии оснований, предусмотренных пунктом 2 настоящей статьи, и при отсутствии спора между заинтересованными лицами.

2. Основанием для внесения исправлений и изменений в записи актов гражданского состояния является:

запись акта об усыновлении;

запись акта об установлении отцовства;

запись акта о перемене имени;

решение суда;

решение органа опеки и попечительства об изменении фамилии и (или) собственно имени ребенка;

заявление матери, не состоящей в браке с отцом ребенка, о внесении в запись акта о рождении сведений об отце ребенка либо об их изменении или исключении;

заявление лица, достигшего совершеннолетия, об изменении сведений о родителе (родителях) в записи акта о рождении данного лица в случае перемены имени родителем (родителями);

документ установленной формы, выданный органом дознания или следствия, об установлении личности умершего, смерть которого зарегистрирована как смерть неизвестного лица;

документ установленной формы о факте смерти необоснованно репрессированного и впоследствии реабилитированного на основании закона о реабилитации жертв политических репрессий лица в случае, если смерть зарегистрирована ранее;

заключение органа записи актов гражданского состояния о внесении исправления или изменения в запись акта гражданского состояния в случаях, предусмотренных статьей 70 настоящего Федерального закона.