Можно ли обжаловать решение мирового судьи о взыскании долга в пользу банка, если ранее районный суд обязал ООО перечислить сумму задолженности на счет истца?

Конечно можно, в соответствии со ст. 129 ГПК РФ, в течении 10 дней вам необходимо составить и отправить в суд возражение на судебный приказ (заявление на отмену судебного приказа, в практике встретился с тем, что этот документ по разному называют) и после отмены судебного приказа, выходить в суд и дело будет рассмотрено в общем, а не приказном, порядке.

Хочу так же отметить, что все подобные процессуальные документы лучше составлять грамотно, с участием юриста, так как это сильно увеличит ваши шансы на успех.

Желаю удачи!