Штраф и заявление о побоях - кто должен нести ответственность?

Если усматриваются признаки преступления - то мировой судья решает такие вопросы. Максимально:

УК РФ Статья 116. Побои

(в ред. Федерального закона от 07.02.2017 N 8-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

Побои или иные насильственные действия, причинившие физическую боль, но не повлекшие последствий, указанных в статье 115 настоящего Кодекса, совершенные из хулиганских побуждений, а равно по мотивам политической, идеологической, расовой, национальной или религиозной ненависти или вражды либо по мотивам ненависти или вражды в отношении какой-либо социальной группы, -

наказываются обязательными работами на срок до трехсот шестидесяти часов, либо исправительными работами на срок до одного года, либо ограничением свободы на срок до двух лет, либо принудительными работами на срок до двух лет, либо арестом на срок до шести месяцев, либо лишением свободы на срок до двух лет.