Оплатят ли мне ремонт в страховой компании?

Все зависит от того, установит ли лицо ГИБДД - у них на административное расследование 2 месяца. Поэтому, все-таки сначала нужно уточнить установлено лицо или нет окончательно. И если установлено, то обращаться в его страховую компанию.

Кстати, ГИБДД должно интересоваться этим делом в связи с административной ответственностью за оставление места ДТП.

Если же все-таки лицо не установлено, то по ОСАГО вы ничего получить не можете, поскольку последнее страхует причиненный вами ущерб, а не причиненный вам.