Возможно ли добавить приложение к завещанию для просьбы наследнику написать завещание после собственной смерти?

Теоретически да. только не письмо приложить, а указать это в завещании

ГК РФ Статья 1139. Завещательное возложение

1. Завещатель может в завещании возложить на одного или нескольких наследников по завещанию или по закону обязанность совершить какое-либо действие имущественного или неимущественного характера, направленное на осуществление общеполезной цели либо на осуществление иной не противоречащей закону цели, в том числе действие по погребению наследодателя в соответствии с его волей (завещательное возложение). Такая же обязанность может быть возложена на исполнителя завещания при условии выделения в завещании части наследственного имущества для исполнения завещательного возложения.

Завещатель вправе также возложить на одного или нескольких наследников обязанность содержать принадлежащих завещателю домашних животных, а также осуществлять необходимый надзор и уход за ними.

2. К завещательному возложению, предметом которого являются действия имущественного характера, соответственно применяются правила статьи 1138 настоящего Кодекса.

3. Заинтересованные лица, исполнитель завещания и любой из наследников вправе требовать исполнения завещательного возложения в судебном порядке, если завещанием не предусмотрено иное.