Какую дату можно пребывать в России при наличии миграционной карты до 23 мая и регистрации до 20 мая?

Вы имеете право находится в РФ до 23 мая, если этот срок не превышает 90 дней с момента въезда.

Вы можете находиться на территории РФ до 20 мая, потом необходимо будет продлить

Статья 25 Федерального закона от 15.08.1996 N 114-ФЗ (ред. от 30.12.2015) "О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию").В соответствии с Федеральным законом №115-ФЗ «О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации» статья 5, п. 1 «Срок временного пребывания в Российской Федерации иностранного гражданина, прибывшего в Российскую Федерацию в порядке, не требующем получения визы, не может превышать девяносто суток суммарно в течение каждого периода в сто восемьдесят суток, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Федеральным законом, а также в случае, если такой срок не продлен в соответствии с настоящим Федеральным законом. При этом непрерывный срок временного пребывания в Российской Федерации указанного иностранного гражданина не может превышать девяносто суток.»

То есть, иностранный гражданин может неоднократно въезжать/выезжать с территории РФ. Самое главное, чтобы в общей сложности срок пребывания в РФ не превысил 90 дней в течение 180 дней с момента первого въезда.