В квартире с моей мамой прописан брат, который не проживает с ней уже 13 лет.

Уважаемая Надежда Филипповна! Можно попробовать подать в суд иск о призанании брата утратившим право пользования квартирой и если суд иск удовлетворит (что для подобных исков большая редкость), то по решению суда его можно выписать. Поскольку это маловероятно, то остается разыскивать брата либо в конце концов (если розыск результатов не даст) признать его в судебном порядке умершим.

Статья 45 Гражданского кодекса РФ. Объявление гражданина умершим

1. Гражданин может быть объявлен судом умершим, если в месте его жительства нет сведений о месте его пребывания в течение пяти лет, а если он пропал без вести при обстоятельствах, угрожавших смертью или дающих основание предполагать его гибель от определенного несчастного случая, - в течение шести месяцев.

2. Военнослужащий или иной гражданин, пропавший без вести в связи с военными действиями, может быть объявлен судом умершим не ранее чем по истечении двух лет со дня окончания военных действий.

3. Днем смерти гражданина, объявленного умершим, считается день вступления в законную силу решения суда об объявлении его умершим. В случае объявления умершим гражданина, пропавшего без вести при обстоятельствах, угрожавших смертью или дающих основание предполагать его гибель от определенного несчастного случая, суд может признать днем смерти этого гражданина день его предполагаемой гибели.