Должен ли диспетчер выходить в выходной день, чтобы выдать путевой лист или путевой лист может быть выдан заранее в пятницу?

Должно быть прописано в договоре. На это случай есть сильный аргумент как инспекция труда и прокуратура.

Статья 113. Запрещение работы в выходные и нерабочие праздничные дни. Исключительные случаи привлечения работников к работе в выходные и нерабочие праздничные дни [Трудовой кодекс РФ] [Глава 18] [Статья 113] Работа в выходные и нерабочие праздничные дни запрещается, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Кодексом. Привлечение работников к работе в выходные и нерабочие праздничные дни производится с их письменного согласия в случае необходимости выполнения заранее непредвиденных работ, от срочного выполнения которых зависит в дальнейшем нормальная работа организации в целом или ее отдельных структурных подразделений, индивидуального предпринимателя. Привлечение работников к работе в выходные и нерабочие праздничные дни без их согласия допускается в следующих случаях: 1) для предотвращения катастрофы, производственной аварии либо устранения последствий катастрофы, производственной аварии или стихийного бедствия; 2) для предотвращения несчастных случаев, уничтожения или порчи имущества работодателя, государственного или муниципального имущества; 3) для выполнения работ, необходимость которых обусловлена введением чрезвычайного или военного положения, а также неотложных работ в условиях чрезвычайных обстоятельств, то есть в случае бедствия или угрозы бедствия (пожары, наводнения, голод, землетрясения, эпидемии или эпизоотии) и в иных случаях, ставящих под угрозу жизнь или нормальные жизненные условия всего населения или его части. Привлечение к работе в выходные и нерабочие праздничные дни творческих работников средств массовой информации, организаций кинематографии, теле-и видеосъемочных коллективов, театров, театральных и концертных организаций, цирков и иных лиц, участвующих в создании и (или) исполнении (экспонировании) произведений, в соответствии с перечнями работ, профессий, должностей этих работников, утверждаемыми Правительством Российской Федерации с учетом мнения Российской трехсторонней комиссии по регулированию социально-трудовых отношений, допускается в порядке, устанавливаемом коллективным договором, локальным нормативным актом, трудовым договором. В других случаях привлечение к работе в выходные и нерабочие праздничные дни допускается с письменного согласия работника и с учетом мнения выборного органа первичной профсоюзной организации. В нерабочие праздничные дни допускается производство работ, приостановка которых невозможна по производственно-техническим условиям (непрерывно действующие организации), работ, вызываемых необходимостью обслуживания населения, а также неотложных ремонтных и погрузочно-разгрузочных работ. Привлечение к работе в выходные и нерабочие праздничные дни инвалидов, женщин, имеющих детей в возрасте до трех лет, допускается только при условии, если это не запрещено им по состоянию здоровья в соответствии с медицинским заключением, выданным в порядке, установленном федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации. При этом инвалиды, женщины, имеющие детей в возрасте до трех лет, должны быть под роспись ознакомлены со своим правом отказаться от работы в выходной или нерабочий праздничный день. Привлечение работников к работе в выходные и нерабочие праздничные дни производится по письменному распоряжению работодателя.

Если это предусмотрено трудовым договором (ст.57 Трудового кодекса РФ), предусматривающим выполнение обязанностей в выходной день, то да. Если нет, то вызов с согласия работника.

Должен быть выдан в любом случае перед выездом. Диспетчер должен выйти не обязательно в выходной день. Если у водителя рейсов нет начиная с пятницы, то может быть и в пятницу выдан.

См. Приказ Минтранса России от 18.09.2008 N 152 (ред. от 21.12.2018) "Об утверждении обязательных реквизитов и порядка заполнения путевых листов" (Зарегистрировано в Минюсте России 08.10.2008 N 12414), раздел 3

10. Путевой лист оформляется до начала выполнения рейса, если длительность рейса водителя транспортного средства превышает продолжительность смены (рабочего дня), или до начала первого рейса, если в течение смены (рабочего дня) водитель транспортного средства совершает один или несколько рейсов.

Путевой лист заранее в пятницу нельзя выписывать. Это нарушение. Правила выписки путевых листов установлен

Инструкцией Минфина СССР N 156, Госбанка СССР N 30, ЦСУ СССР N 354/7, Минавтотранса РСФСР N 10/998 от 30.11.1983 (ред. от 28.11.1997) "О порядке расчетов за перевозки грузов автомобильным транспортом":

9. Заполнение путевого листа до выдачи его водителю производится диспетчером автотранспортного предприятия или уполномоченным на то лицом в следующей последовательности:

9.1. На лицевой части путевого листа под названием документа записывается дата его выдачи (число, месяц, год), которая должна соответствовать дате регистрации выданного путевого листа в диспетчерском журнале.

...

9.2. В строке "Режим работы" записывается код или наименование режима работы (работа в будние дни, командировка, суммированный учет рабочего времени, ежедневный учет рабочего времени, работа в выходной или праздничный день, в день субботника, работа по графику или вне графика и т.д.), в соответствии с которым производится начисление заработной платы водителю.

...

9.7. В разделе "Работа водителя и автомобиля" в графах 2 и 3 записывается время (часы и минуты) выезда и возвращения автомобиля по графику.