Возможно ли заключить контракт в другой части без разрыва после окончания предыдущего?

Нет. не можете. В данном случае сначала прекращаются отношения с этой частью согласно ст. 51 ФЗ О статусе военнослужащих. А потом заключается новый с другой.

Если согласуете с отцами командирами, запрета в законодательстве на это нет, Федеральный закон "О воинской обязанности и военной службе" от 28.03.1998 N 53-ФЗ.с п. 3 ст. 43

Если вы заведомо не заключили новый контракт

до истечения старого до у вас произойдет разрыв в трудоустройстве

Федеральный закон от 28.03.1998 N 53-ФЗ (ред. от 29.05.2019) "О воинской обязанности и военной службе"

Статья 34. Заключение контракта о прохождении военной службы

1. Контракт о прохождении военной службы вправе заключать:

военнослужащие, у которых заканчивается предыдущий контракт о прохождении военной службы;

военнослужащие, проходящие военную службу по призыву и получившие до призыва на военную службу высшее образование, а также военнослужащие, проходящие военную службу по призыву и прослужившие не менее трех месяцев;

(в ред. Федерального закона от 02.07.2013 N 185-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

военнослужащие, проходящие военную службу по призыву, получившие до призыва на военную службу среднее профессиональное образование и поступающие на военную службу в Вооруженные Силы Российской Федерации, войска национальной гвардии Российской Федерации, спасательные воинские формирования федерального органа исполнительной власти, уполномоченного на решение задач в области гражданской обороны, Службу внешней разведки Российской Федерации и органы государственной охраны;

(абзац введен Федеральным законом от 01.05.2017 N 91-ФЗ)

граждане, пребывающие в запасе;

граждане мужского пола, не пребывающие в запасе и получившие высшее образование;

(в ред. Федерального закона от 02.07.2013 N 185-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

граждане мужского пола, не пребывающие в запасе, получившие среднее профессиональное образование и поступающие на военную службу в Вооруженные Силы Российской Федерации, войска национальной гвардии Российской Федерации, спасательные воинские формирования федерального органа исполнительной власти, уполномоченного на решение задач в области гражданской обороны, Службу внешней разведки Российской Федерации и органы государственной охраны;

(абзац введен Федеральным законом от 01.05.2017 N 91-ФЗ)

граждане женского пола, не пребывающие в запасе;

другие граждане в соответствии с нормативными правовыми актами Президента Российской Федерации.

Граждане, поступившие в военные профессиональные образовательные организации или военные образовательные организации высшего образования, заключают контракт о прохождении военной службы в соответствии с пунктом 2 статьи 35 настоящего Федерального закона.

(в ред. Федерального закона от 02.07.2013 N 185-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

Контракт о прохождении военной службы также вправе заключать иностранные граждане, законно находящиеся на территории Российской Федерации. Указанные иностранные граждане могут воспользоваться своим правом на заключение контракта о прохождении военной службы только один раз.

(абзац введен Федеральным законом от 11.11.2003 N 141-ФЗ; в ред. Федерального закона от 29.05.2019 N 117-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

2. Первый контракт о прохождении военной службы вправе заключать:

граждане в возрасте от 18 до 40 лет;

иностранные граждане в возрасте от 18 до 30 лет.

6. Командир (начальник) воинской части принимает решение о заключении нового контракта о прохождении военной службы или об отказе в его заключении с военнослужащим, проходящим военную службу по контракту, не позднее чем за три месяца до истечения срока действующего контракта.