Возможно ли встать на биржу труда повторно и получать прежние денежные отчисления для сироты-несовершеннолетнего?

Нет, как сирота - только в первый раз поиска работы.

Закон РФ от 19.04.1991 N 1032-1 (ред. от 11.12.2018) "О занятости населения в Российской Федерации" (с изм. и доп., вступ. В силу с 01.01.2019)

Статья 34.1. Дополнительные гарантии социальной поддержки детей-сирот, детей, оставшихся без попечения родителей, лиц из числа детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей

1. Впервые ищущим работу (ранее не работавшим) и впервые признанным органами службы занятости в установленном порядке безработными детям-сиротам, детям, оставшимся без попечения родителей, лицам из числа детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, пособие по безработице и стипендия во время прохождения профессионального обучения и получения дополнительного профессионального образования по направлению органов службы занятости устанавливаются и выплачиваются в соответствии с пунктами 2 и 3 настоящей статьи.

Указанные в абзаце первом настоящего пункта лица, которые ранее по направлению органов службы занятости были временно трудоустроены в свободное от учебы время, принимали участие в общественных работах, а также проходили производственную практику, предусмотренную образовательными программами, признаются впервые ищущими работу (ранее не работавшими).

2. Лицам, указанным в пункте 1 настоящей статьи, пособие по безработице устанавливается и выплачивается в течение шести месяцев со дня регистрации в качестве безработных в размере среднемесячной начисленной заработной платы в соответствующем субъекте Российской Федерации на дату регистрации их в качестве безработных.

В случае, если в течение шести месяцев со дня регистрации в качестве безработных лица, указанные в пункте 1 настоящей статьи, направляются органами службы занятости для прохождения профессионального обучения и получения дополнительного профессионального образования, стипендия выплачивается в размере пособия по безработице, установленного им в соответствии с абзацем первым настоящего пункта.

Общий период выплаты пособия по безработице и стипендии во время прохождения профессионального обучения и получения дополнительного профессионального образования по направлению органов службы занятости в размере среднемесячной начисленной заработной платы в соответствующем субъекте Российской Федерации не может превышать шесть месяцев.

3. Лицам, указанным в пункте 1 настоящей статьи, по истечении шести месяцев со дня регистрации их в качестве безработных, а также при достижении ими в указанный период 23 лет пособие по безработице и стипендия в связи с прохождением указанными лицами профессионального обучения и получения ими дополнительного профессионального образования по направлению органов службы занятости выплачиваются в размере минимальной величины пособия по безработице, увеличенной на размер районного коэффициента, в сроки, установленные статьей 31 настоящего Закона.