Как решить проблему с пропиской в квартире, когда есть долги и ограничения на выезд за границу?

Вас не выпустили не потому, что имеются долги, а потому, что вынесен судебный акт, который обращен к исполнению и далее приставом наложено в рамках исполнения ограничение на выезд.

С этим идти в суд надо, но не в том смысле, в котором Вы предполагаете. "Отсудить" ничего ни у кого нельзя за это, так как Вы сами виноваты в сложившейся ситуации.

Вам надо обратиться к судебным приставам за выяснением данного вопроса.

После того, как Вы выясните, кем выдан исполнительный документ, надо получить в суде судебный акт и рассмотреть возможность его обжалования.

Есть такие варианты:

- судебный приказ, его надо получить и подать заявление о его отмене на основании ст.ст. 128, 129 ГПК РФ, в 10-дневный срок со дня получения, при необходимости с восстановлением срока в порядке ст. 112 ГПК РФ

- заочное решение суда, его надо получить и подать заявление о его отмене в 7-дневный срок

Заочное решение суда подлежит отмене, если суд установит, что неявка ответчика в судебное заседание была вызвана уважительными причинами, о которых он не имел возможности своевременно сообщить суду, и при этом ответчик ссылается на обстоятельства и представляет доказательства, которые могут повлиять на содержание решения суда. (ст. 242 ГПК РФ)

- решение суда, вынесенное не в заочном порядке

В этом случае надо его обжаловать в апелляционном порядке (ст.ст. 320, 321 ГПК РФ), с восстановлением срока на обжалование (ст. 112 ГПК РФ). Обратиться в суд с апелляционной жалобой и заявлением о восстановлении срока надо не позднее месяца с дня когда Вы официально узнали о судебном решении (например, получили его на руки)

Обратитесь к юристу за грамотной работой в суде, в том числе можете обратиться к одному из ответивших Вам на вопрос.

Остерегайтесь навязчивых звонков неустановленных лиц с настойчивыми приглашениями на якобы "бесплатные консультации юристов". Ничего бесплатного там нет, кроме озвучивания завышенных цен, и, скорее всего, юристов на этих "консультациях" Вы тоже не увидите